Mathématiques de base Exemples

${(a + b)}^{3} + {(c - d)}^{3}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a + b$ et $b = c - d$ .

$(a + b + c - d) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b + c - d) ((a + b) (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.2

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.3.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.5

Développez $(- a - b) (c - d)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (c - d) - b (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - a (- d) - b (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - a (- d) - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - 1 \cdot - 1 a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + 1 a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c - 1 \cdot - 1 b d + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + 1 b d + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.6.6

Multipliez $b$ par $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + {(c - d)}^{2})$

Étape 2.7

Réécrivez ${(c - d)}^{2}$ comme $(c - d) (c - d)$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + (c - d) (c - d))$

Étape 2.8

Développez $(c - d) (c - d)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c (c - d) - d (c - d))$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c \cdot c + c (- d) - d (c - d))$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c \cdot c + c (- d) - d c - d (- d))$

Étape 2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1.1

Multipliez $c$ par $c$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} + c (- d) - d c - d (- d))$

Étape 2.9.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - d (- d))$

Étape 2.9.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 d \cdot d)$

Étape 2.9.1.4

Multipliez $d$ par $d$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.1.4.1

Déplacez $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 (d \cdot d))$

Étape 2.9.1.4.2

Multipliez $d$ par $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 d^{2})$

Étape 2.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c + 1 d^{2})$

Étape 2.9.1.6

Multipliez $d^{2}$ par $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c + d^{2})$

Étape 2.9.2

Soustrayez $d c$ de $- c d$ .

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Étape 2.9.2.1

Déplacez $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - 1 c d + d^{2})$

Étape 2.9.2.2

Soustrayez $c d$ de $- c d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - 2 c d + d^{2})$